私の場合
h(x) = (x>0)?1.0/(1.0+exp(-x)):exp(x)/(1.0+exp(x))
ではsingularがでるもののパラメータ値としては
h(x) = atan(x)/pi+0.5とさほど変わりませんでした。
h(x)=tanh(x)/2+0.5は
h(x) = (x>0)?1.0/(1.0+exp(-x)):exp(x)/(1.0+exp(x))
より収束が少し急なためかsingularがでて値もかなり違います。
こんなのを試してみました。
h(x) = (x>0)?1-1.0/(1+(x+1)**2) :1.0/(1+(x-1)**2)
atan(x)と同じようにどちらの問題でも収束するようです。

h(x) = (x>0)?1.0/(1.0+exp(-x)):exp(x)/(1.0+exp(x))
などがよくない場合があるのはxがある程度大きくなった場合
パラメータの変化が少なく，残差のパラメータ微分の値が小さくなり
ヤコビアンに０に近い要素が増え
不安定をますことがあるのではと推測しています。
正しいかどうかわかりませんが。

〔ツリー構成〕

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