birei> g(x)=Σf(x,i)は
birei> 計算できるのでしょうか？
birei> 書きたいのはg(x)です。

言っている意味がよく分かりませんが、gnuplot は簡単な式の認識はできます
が、数式処理ソフトではなく、グラフ描画ソフトです。よって、有限和、無限
和などを「計算」するような特別な表記はありません。

ただ、有限和の関数を定義できないこともありません。例えば、直接

  f(x,y) = sin(x*y)
  g(x) = f(x,1)+f(x,2)+f(x,3)+f(x,4)

のように書くことはできますし、またちょっとややこしいですが、

  f(x,y) = sin(x*y)
  g(x,i) = (i>0) ? g(x,i-1)+f(x,i) : 0

とすると、g(x,i) の値が使われるときには

  g(x,i) = f(x,1)+f(x,2)+...+f(x,i)

の値に展開されますので、

  plot g(x,3)

のように使って有限和をグラフに書くことができます。

birei> 解析解が数列の和以上に簡単にならない場合、どの様にグラフ化されてますか？

これは、言っている意味がわかりません。「解析解」とは ? 「数列の和以上に
簡単にならない」とは ?

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