なぜそのような制限を設ける必要があるのか，背景を教えていただけるとありがたいです．
制限範囲外に最適値があった場合には，打ちきり誤差に入らない場合が想定され，
途中で gnuplot があきらめてしまうからです． もし，理論的に考えて 1-10 の範囲内に
パラメータがあるはずならば，制限なしで最適値を求め，1-10 範囲外であった場合
棄却すればすむ話です． このような単純な関数で，パラメータが理論と合わないデータ
は，ちょっと考えられません．
また無理に 1-10 におさめるため，打ちきり誤差を緩くした場合には，
最適パラメータとは言いがたい無意味な値がえられるでしょう．

とまれ，次のような方法は考えられます．

set xrange[0:5]
g(x,q,b,c,d)=((atan(q)/pi+0.5)*9+1)*x**3+b**2+c*x+d
f(x,a,b,c,d)=a*x**3+b**2+c*x+d
set table
set out "pseudo.dat"
plot f(x,0.5,1,5,pi)*(0.95+0.1*rand(0))
set term x11
reset
fit f(x,a,b,c,d) "pseudo.dat" via a,b,c,d
a1 =a; b1=b; c1=c; d1=d
fit g(x,q,b,c,d) "pseudo.dat" via q,b,c,d
a = (atan(q)/pi+0.5)*9+1
print a1,b1,c1,d1
print a,b,c,d
plot f(x,a,b,c,d), f(x,a1,b1,c1,d1), "pseudo.dat"
pause -1

〔ツリー構成〕

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